Mathematik Vertiefungen

Glossar für komische Zeichen

Zeichen	Übersetzung
\(\in\)	ist Teil von
\(\backslash\)	ohne
\(\dot{=}\)	gehört zu
\(\land\)	logisches AND
\(\lor\)	logisches OR
\(\notin\)	ist nicht Teil von
\(\subset\)	ist Teilmenge von
\(\{\,\}\)	leere Menge
\(\cap\)	Schnittmenge
\(\times\)	kartesisches Produkt («kreuz»)
\(\pm\)	plus oder minus
\(\mp\)	minus oder plus (Gegenstück zu \(\pm\))
\(\neq\)	ungleich
\(\approx\)	ungefähr gleich
\(\Rightarrow\)	daraus folgt
\(\Leftrightarrow\)	ist äquivalent zu
\(\checkmark\)	Kontrolle stimmt
\(\sum\)	Summe
\(\sqrt[n]{a}\)	n-te Wurzel aus a
\(\lceil r \rceil\)	r aufrunden (wie ceil())
\(\Delta\)	Differenz zweier Werte (Delta)
\(\overline{AB}\)	Strecke bzw. Länge von A nach B
\(\parallel\)	parallel
\(\perp\)	senkrecht
\(\to\)	von ... nach (Abbildung)
\(\mapsto\)	wird abgebildet auf
\(f^{-1}\)	Umkehrfunktion von f (nicht \(\frac{1}{f}\))
\(\infty\)	unendlich
\(\det\)	Determinante
\(\mathrm{e}\)	Eulersche Zahl \(\approx 2.71828\)
\(\ln\)	natürlicher Logarithmus
\(\bar{x}\)	Mittelwert
\(\tilde{x}\)	Median
\(\mathbb{G}\), \(\mathbb{D}\), \(\mathbb{L}\), \(\mathbb{W}\)	Grund-, Definitions-, Lösungs- und Wertemenge

Zahlenmengen

• \(\mathbb{P}\) Primzahlen
  Nur positive Zahlen, welche genau zwei Teiler haben (1 und sich selbst)
  \(\mathbb{P}\doteq\{2;3;5;7;11;\dots\}\)
• \(\mathbb{N}\) Natürliche Zahlen
  Alle positive, ganze Zahlen
  \(\mathbb{N}\doteq\{0;1;2;3;4;\dots\}\)
• \(\mathbb{Z}\) Ganze Zahlen
  Neben \(\mathbb{N}\) auch negative Zahlen
  \(\mathbb{Z}\doteq\{\dots\\;-2;-1;0;1;2;\dots\}\)
• \(\mathbb{Q}\) Rationale Zahlen
  Neben \(\mathbb{Z}\) auch Brüche
  \(\mathbb{Q}\doteq\{\dots\\;-1.25;0.\overline{3};2;3.5;\dots\}\)
• \(\mathbb{R}\) Reelle Zahlen
  Neben \(\mathbb{Z}\) auch irrationale Zahlen, die nicht als Bruch darstellbar sind
  \(\mathbb{R}\doteq\{\dots\\;-1;\sqrt{2};\pi;4.7;\dots\}\)
• \(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\) Irrationale Zahlen
  \(\mathbb{R}\) ohne \(\mathbb{Q}\) ergibt ausschliesslich irrationale Zahlen als Teilmenge
  Beispiele: \(\sqrt{2},\sqrt{5},\ln4,\pi,\mathbf{e},\sin7^{\circ}\)

Teilmengen

Um nur positive oder negative Zahlen in einer Menge zu kennzeichnen wird ein hochgestelltes + bzw. - verwendet und um jeweils auch 0 zu inkludieren ein tiefgestelltes 0

\(\mathbb{Z}_{0}^{+}\)

\(\mathbb{Z}^{-}\)

Um 0 explizit von einer Menge zu exkludieren wird folgender Ausdruck verwendet

\(\mathbb{N}^{*}\)

Dezimalzahlen als Bruch

Endliche Dezimalzahlen

1. Multiplikation damit alle dezimalstellen wegfallen $$ 2.375 = \frac{2.375}{1}=\frac{2375}{1000} $$
2. Bruch kürzen $$ \frac{2375 \div 25}{1000 \div 25} = \frac{95 \div 5}{40 \div 5} = \frac{19}{8} $$

Periodische Dezimalzahlen

1. Multiplikation damit eine Periode vor dem Punkt steht $$ 0.24 \overline{5} \cdot 1000 = 245. \overline{5} $$
2. Multiplikation damit die Periode direkt nach dem Punkt steht $$ 0.24 \overline{5} \cdot 100 = 24. \overline{5} $$
3. Zweiter multiplikationsfaktor vom ersten und das zweite Resultat vom ersten subtrahieren. Anschliessend das Resultat mit dem Multiplikationsfaktor dividieren $$ \frac{245. \overline{5} - 24. \overline{5}}{1000-100} = \frac{221}{900} $$

Zahlenstrahl

Betrag einer Zahl
Ist der Abstand einer Zahl vom Nullpunkt z.B. für -3 und 3 ist der Betrag bei beiden Zahlen 3

Der Betrag wird zwei Pipe symbolen gekennzeichnet z.B. $$ \lvert \lvert -4\lvert - \lvert -10\lvert \lvert \quad = \quad \lvert 4-10\lvert \quad = \quad \lvert -6\lvert \quad = \quad 6 $$

Begrenzungen & Randwerte
Begrenzungen auf dem Zahlenstrahl werden mit eckigen Klammern gekennzeichnet.
Die Zahlen auf dem Zahlenstrahl werden als Intervall bezeichnet.

• Im ersten Beispiel sind die Randwerte a und b in x inkludiert
• Im zweiten Beispiel sind die Randwerte exkludiert
• Hier ist der Intervall nur linksseitig begrenzt
• Rechtsseitige begrenzung des Intevalls

Terme

Terme, vergleichbar mit Funktionen beim Programmieren können jeweils ein oder mehrere Parameter entgegennehmen und mit diesen eine Rechenoperation durchführen z.B. \(T(a;b) = 3a + 4b\)

Alle Zahlen, welche als Parameter an den Term übergeben werden können und zu einem sinnvollen Ergebnis führen bilden die Definitionsmenge \(\mathbb{D}\)

Volumen & Flächenberechnung

Das Volumen wird mit \(h \cdot b \cdot l\) oder \(1x \cdot 3x \cdot 8x = 24x^3\) errechnet

Die Fläche errechnet sich mit \(2 \cdot (1x \cdot 3x) + 2 \cdot (3x \cdot 8x) + 2 \cdot (1x \cdot 8x) = 70x^2\)

Polynome

Polynome sind mehrgliedrige Terme, welche aus Variablen und Plus oder Minus Zeichen bestehen.
Die Grundform eines Polynoms ist mit der höchsten Potenz zu vorderst absteigend sortiert z.B. \(x^4 + 3x^2 - x + 5\)

Wenn reine Zahlen ohne Variablen enthalten sind wie \(+ 5\), so kann man diese auch als \(+5x^0\) schreiben da \(x^0 = 5\)

Der Koeffizient ist jeweils der Vorfaktor mit dem eine Variable multipliziert wird so gibt es für obiges Beispiel folgende Koeffizienten als \(a\)

\(a^4 = 1\) Beginnend mit der höchsten Potenz

\(a^3 = 0\) Gibt es nicht im Term, daher 0

\(a^2 = 1\)

\(a^1 = -1\) Minus, da \(-x\)

\(a^0 = 5\)

Der Grad eines Polynoms ist jeweils die höchste Potenz, welche im Term enthalten ist. \(x^4 + 3x^2 - x + 5\) ist also ein Polynom 4ten Grades

Grundoperationen

Addition und Subtraktion

Es können nur gleichartige Summanden zusammengefasst werden. Zu \(a\) kann also nur \(a\) addiert werden, nicht \(b\), \(a^2\) oder eine Zahl.

Ein Minus vor einer Klammer wird aufgelöst, indem alle Vorzeichen in der Klammer gewechselt werden. Mehrfachklammern werden systematisch von innen nach aussen aufgelöst.

\[ 5x - (2y - 3x + (x - y)) = 5x - (2y - 3x + x - y) = 5x - (y - 2x) = 7x - y \]

Multiplikation

Rechengesetze

Gesetz	Addition	Multiplikation
Assoziativgesetz	\(a + (b + c) = (a + b) + c\)	\(a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c\)
Kommutativgesetz	\(a + b = b + a\)	\(a \cdot b = b \cdot a\)
Distributivgesetz		\(a \cdot (b + c) = ab + ac\)

Beim Ausmultiplizieren zweier Klammern wird jeder Summand der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert: \((a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\)

Binomische Formeln

\[ \begin{aligned} (a + b)^2 &= a^2 + 2ab + b^2 \\ (a - b)^2 &= a^2 - 2ab + b^2 \\ (a + b)(a - b) &= a^2 - b^2 \end{aligned} \]

Beispiel mit der zweiten binomischen Formel: $$ (2x - 5)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 5 + 5^2 = 4x^2 - 20x + 25 $$

Pascalsches Dreieck

Die binomischen Formeln gelten nur für \((a + b)^2\). Für höhere Potenzen liefert das Pascalsche Dreieck die Koeffizienten. Am Rand steht jeweils eine 1, jede Zahl im Inneren ist die Summe der beiden schräg darüberliegenden Zahlen.

\[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \quad 1 \\ 1 \quad 2 \quad 1 \\ 1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \\ 1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1 \\ 1 \quad 5 \quad 10 \quad 10 \quad 5 \quad 1 \end{array} \]

Der Exponent von \(a\) nimmt pro Summand von \(n\) bis 0 ab, der Exponent von \(b\) steigt von 0 bis \(n\): $$ (a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4 $$

Bei \((a - b)^n\) wechseln sich die Vorzeichen ab: \((a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\)

Faktorisieren

Faktorisieren ist die Umkehrung vom Ausmultiplizieren: Aus einer Summe wird ein Produkt gebildet. Folgende Verfahren führen meist zum Ziel, oft müssen mehrere nacheinander angewendet werden:

1. Gemeinsame Faktoren ausklammern $$ 6x^3 - 9x^2 = 3x^2(2x - 3) $$
2. Ganze Klammerausdrücke ausklammern $$ ax + ay - 2x - 2y = a(x + y) - 2(x + y) = (x + y)(a - 2) $$
3. Binomische Formeln anwenden $$ 12x^2 - 27 = 3(4x^2 - 9) = 3(2x + 3)(2x - 3) $$
4. Zweiklammeransatz: Gesucht sind zwei Zahlen, deren Produkt die Konstante und deren Summe den Koeffizienten von \(x\) ergibt $$ x^2 + x - 12 = (x + 4)(x - 3) \qquad 4 \cdot (-3) = -12 \quad 4 + (-3) = 1 $$

Brüche

Schreibweise

Jeder Bruch ist eine Division: \(\frac{3}{4} = 3 : 4\). Der Zähler entspricht dem Dividenden, der Nenner dem Divisor. Brüche sind nur definiert, wenn der Nenner nicht null ist.

Bei unechten Brüchen ist der Zähler grösser als der Nenner. Die gemischte Schreibweise sollte vermieden werden, da ein fehlendes Zeichen zwischen zwei Termen eigentlich eine Multiplikation bedeutet: $$ 2\tfrac{1}{3} = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \quad \neq \quad 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3} $$

Vorzeichen bei Brüchen
Ungerade Anzahl negativer Vorzeichen ergibt einen negativen Bruch, eine gerade Anzahl einen positiven: $$ -\frac{a}{b} = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} \qquad \frac{a}{b} = \frac{-a}{-b} = -\frac{-a}{b} $$

Erweitern und Kürzen

Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit demselben Term multipliziert, beim Kürzen durch denselben Term dividiert. Der Wert des Bruchs ändert sich dabei nicht.

Nie aus Summen kürzen! Summen und Differenzen müssen zuerst faktorisiert werden: $$ \frac{3x + 6}{x^2 - 4} = \frac{3(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)} = \frac{3}{x - 2} $$

Oft muss dafür \(-1\) ausgeklammert werden, da \(a - b = -(b - a)\): $$ \frac{5 - x}{x - 5} = \frac{-(x - 5)}{x - 5} = -1 $$

Grösster gemeinsamer Teiler (ggT)
Beide Zahlen in Primfaktoren zerlegen und von jedem Primfaktor die höchste Potenz nehmen, die in beiden Zahlen vorkommt: $$ \text{ggT}(84; 126) = \text{ggT}(2^2 \cdot 3 \cdot 7;\ 2 \cdot 3^2 \cdot 7) = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42 $$

Addieren und Subtrahieren

Nur gleichnamige Brüche (gleicher Nenner) können addiert werden, indem die Zähler addiert werden. Ungleichnamige Brüche werden zuerst auf den Hauptnenner erweitert, das ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) aller Nenner.

Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)
Von jedem Primfaktor die höchste Potenz nehmen, die in mindestens einer der Zahlen vorkommt: $$ \text{kgV}(12; 18) = \text{kgV}(2^2 \cdot 3;\ 2 \cdot 3^2) = 2^2 \cdot 3^2 = 36 $$

Vorgehen

1. Alle Zähler und Nenner faktorisieren
2. Einzelbrüche kürzen
3. Hauptnenner bestimmen und alle Brüche darauf erweitern
4. Alles auf einen Bruchstrich schreiben
5. Im Zähler Klammern auflösen und vereinfachen
6. Zähler und Nenner faktorisieren
7. Kürzen

\[ \frac{2}{x} + \frac{3}{x + 1} = \frac{2(x + 1)}{x(x + 1)} + \frac{3x}{x(x + 1)} = \frac{2x + 2 + 3x}{x(x + 1)} = \frac{5x + 2}{x(x + 1)} \]

Multiplizieren und Dividieren

Beim Multiplizieren wird Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner gerechnet, die Nenner müssen nicht gleichnamig sein. Beim Dividieren wird mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert: $$ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} \qquad \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc} $$

Vorgehen
Kehrwert bilden (nur bei Division), Zähler und Nenner faktorisieren, auf einen Bruchstrich schreiben, kürzen. Nicht ausmultiplizieren, sonst entstehen lange Summen, die sich nicht mehr kürzen lassen.

\[ \frac{x^2 - 9}{4x} : \frac{x + 3}{2x^2} = \frac{(x + 3)(x - 3)}{4x} \cdot \frac{2x^2}{x + 3} = \frac{(x + 3)(x - 3) \cdot 2x^2}{4x(x + 3)} = \frac{x(x - 3)}{2} \]

Doppelbrüche
Der Hauptbruchstrich wird durch ein Divisionszeichen ersetzt, alternativ wird mit dem kgV der Nebennenner erweitert: $$ \frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{\frac{1}{ab}} = \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) : \frac{1}{ab} = \frac{b + a}{ab} \cdot ab = a + b $$

Polynomdivision

Lassen sich Zähler oder Nenner nur schwer faktorisieren, hilft die Polynomdivision. Sie funktioniert wie das schriftliche Dividieren. Die Summanden müssen dafür alphabetisch und nach absteigenden Exponenten geordnet sein.

Bei jedem Schritt wird der vorderste Summand durch \(x\) geteilt, das Resultat mit dem Divisor multipliziert und abgezogen. \(\mp\) und \(\pm\) zeigen dabei an, dass beim Abziehen die Vorzeichen wechseln.

\[ \begin{array}{rrrrl} (x^3 & +2x^2 & -5x & -6) & : (x - 2) = x^2 + 4x + 3 \\ \mp x^3 & \pm 2x^2 & & & \\ \hline & 4x^2 & -5x & & \\ & \mp 4x^2 & \pm 8x & & \\ \hline & & 3x & -6 & \\ & & \mp 3x & \pm 6 & \\ \hline & & & 0 & \end{array} \]

Bleibt am Schluss ein Rest, wird er als Bruch angehängt. Wäre die Konstante oben \(-5\) statt \(-6\), bliebe 1 übrig: \(x^2 + 4x + 3 + \frac{1}{x - 2}\)

Potenzen

Potenzen mit natürlichen Exponenten

Eine Potenz ist die Kurzschreibweise für ein Produkt aus gleichen Faktoren: $$ a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ Faktoren}} $$

\(a\) ist die Basis, \(n\) der Exponent. Es gilt Hoch vor Punkt vor Strich, ausserdem \(a^1 = a\), \(0^n = 0\) und \(1^n = 1\).

Bei negativer Basis ist das Resultat bei geradem Exponent positiv, bei ungeradem negativ. Die Klammer ist dabei entscheidend: $$ (-3)^2 = 9 \qquad (-3)^3 = -27 \qquad -3^2 = -9 $$

Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

Negative Exponenten bedeuten den Kehrwert: $$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \qquad a^0 = 1 \qquad \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n \qquad (a \neq 0) $$

\[ 2^{-3} + \left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \frac{1}{8} + \frac{9}{4} = \frac{1}{8} + \frac{18}{8} = \frac{19}{8} \]

Potenzen addieren und subtrahieren

Nur Potenzen mit gleicher Basis und gleichem Exponenten können zusammengefasst werden: \(3x^4 + 5x^4 - x^4 = 7x^4\). \(x^3 + x^2\) lässt sich hingegen nicht vereinfachen.

Bei Zehnerpotenzen hilft es, auf den gleichen Exponenten umzuformen: $$ 2 \cdot 10^4 + 3 \cdot 10^3 = 20 \cdot 10^3 + 3 \cdot 10^3 = 23 \cdot 10^3 = 2.3 \cdot 10^4 $$

Potenzgesetze

Gesetz	Formel
Produkt, gleiche Basis	\(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)
Quotient, gleiche Basis	\(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} = \frac{1}{a^{n-m}}\)
Potenz einer Potenz	\((a^m)^n = a^{m \cdot n} = (a^n)^m\)
Produkt, gleicher Exponent	\(a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n\)
Quotient, gleicher Exponent	\(\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n\)

Die Gesetze gelten auch für negative Exponenten (\(m, n \in \mathbb{Z}\)).

\[ \frac{(2x^3)^2 \cdot x^{-4}}{4x} = \frac{4x^6 \cdot x^{-4}}{4x} = \frac{x^2}{x} = x \]

Exponentenvergleich
Haben beide Seiten dieselbe Basis, müssen die Exponenten gleich sein: \(a^x = a^b \Rightarrow x = b\) $$ 9^x = 3^{x+4} \quad \Rightarrow \quad 3^{2x} = 3^{x+4} \quad \Rightarrow \quad 2x = x + 4 \quad \Rightarrow \quad x = 4 $$

Stellenwertsysteme

Im dezimalen Stellenwertsystem werden alle Zahlen mit zehn Ziffern (0 bis 9) dargestellt. Der Wert einer Ziffer hängt von ihrer Stelle ab, die Grundlage bilden die Potenzen mit Basis 10.

	\(10^2\)	\(10^1\)	\(10^0\)	\(10^{-1}\)
305.7	3	0	5.	7

\[ 305.7 = 3 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10^1 + 5 \cdot 10^0 + 7 \cdot 10^{-1} \]

Exponentenschreibweise
Sehr grosse oder kleine Zahlen werden in der wissenschaftlichen Schreibweise als Mantisse mal Zehnerpotenz notiert: \(6\,020\,000 = 6.02 \cdot 10^6\) und \(0.00042 = 4.2 \cdot 10^{-4}\)

In der technischen Schreibweise ist der Exponent immer durch drei teilbar, damit er zu einer Vorsilbe passt: \(4.2 \cdot 10^{-4} = 420 \cdot 10^{-6}\), also z.B. 420 µm.

Faktor	Vorsilbe	Zeichen	Faktor	Vorsilbe	Zeichen
\(10^{1}\)	Deka	da	\(10^{-1}\)	Dezi	d
\(10^{2}\)	Hekto	h	\(10^{-2}\)	Zenti	c
\(10^{3}\)	Kilo	k	\(10^{-3}\)	Milli	m
\(10^{6}\)	Mega	M	\(10^{-6}\)	Mikro	µ
\(10^{9}\)	Giga	G	\(10^{-9}\)	Nano	n
\(10^{12}\)	Tera	T	\(10^{-12}\)	Piko	p
\(10^{15}\)	Peta	P	\(10^{-15}\)	Femto	f
\(10^{18}\)	Exa	E	\(10^{-18}\)	Atto	a

In der Informatik werden die Vorsilben oft für Zweierpotenzen verwendet, z.B. 1 kB = \(2^{10}\) B = 1024 B. Nach Norm wäre das korrekt 1 KiB, 1 kB sind 1000 B.

Wurzeln

Quadratwurzel

Die Quadratwurzel \(\sqrt{a}\) ist die nicht negative Zahl, deren Quadrat \(a\) ergibt: \((\sqrt{a})^2 = a\). Der Radikand \(a\) muss grösser oder gleich null sein, \(\sqrt{-4}\) ist also nicht definiert. Ausserdem gilt \(\sqrt{a^2} = \lvert a \rvert\).

Wurzelgesetze für \(a, b \geq 0\) $$ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} \qquad \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \quad (b > 0) $$

Teilweise Radizieren
Den Radikanden so zerlegen, dass möglichst viel als Quadrat herausgezogen werden kann (\(x \geq 0\)): $$ \sqrt{72x^3} = \sqrt{36x^2 \cdot 2x} = 6x\sqrt{2x} $$

Zusammenfassen
Gleiche Wurzeln lassen sich wie Variablen zusammenfassen: \(3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} - \sqrt{5} = 4\sqrt{5}\)

Nenner wurzelfrei machen
Mit der Wurzel selbst erweitern oder, bei einer Summe im Nenner, mit der dritten binomischen Formel: $$ \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \qquad \frac{4}{\sqrt{5} - 1} = \frac{4(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)} = \frac{4(\sqrt{5} + 1)}{5 - 1} = \sqrt{5} + 1 $$

Allgemeine Wurzeln

Radizieren ist die Umkehroperation des Potenzierens: Bei \(c^n = a\) ist die Basis \(c\) gesucht. Die \(n\)-te Wurzel \(\sqrt[n]{a}\) ist die nicht negative Zahl, die hoch \(n\) wieder \(a\) ergibt. \(n\) heisst Wurzelexponent, bei der Quadratwurzel wird die 2 weggelassen. $$ \sqrt[3]{125} = 5, \text{ denn } 5^3 = 125 $$

Nach dieser Definition sind negative Radikanden nicht erlaubt, obwohl \(\sqrt[3]{-8} = -2\) eigentlich möglich wäre.

Potenzen mit rationalen Exponenten
Jede Wurzel lässt sich als Potenz schreiben: $$ a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} \qquad a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m $$

\[ 8^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4 \qquad \sqrt[4]{x^3} = x^{\frac{3}{4}} \]

Potenz- und Wurzelgesetze

Die Potenzgesetze gelten auch für rationale Exponenten. Daraus folgen die allgemeinen Wurzelgesetze (\(a, b \geq 0\)): $$ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} \qquad \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \qquad \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a} $$

Summen unter einer Wurzel lassen sich nicht zerlegen: \(\sqrt[n]{a + b} \neq \sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b}\)

Am einfachsten rechnet man Wurzeln in Potenzen um: $$ \sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{x^5} $$

Teilweise radizieren funktioniert analog zur Quadratwurzel: \(\sqrt[3]{54a^4} = \sqrt[3]{27a^3 \cdot 2a} = 3a\sqrt[3]{2a}\)

Gleichungen

Häufige Gleichungstypen sind lineare, quadratische, Wurzel-, Exponential- und trigonometrische Gleichungen. Neben der Lösungsvariablen können weitere Variablen, sogenannte Parameter, vorkommen. Viele Gleichungen sind nicht exakt lösbar (transzendent), dann braucht es Näherungsverfahren.

Aussagen und Aussageformen

Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr oder falsch ist. Eine Aussageform enthält mindestens eine Variable und wird erst durch Einsetzen zu einer Aussage.

Satz	Typ
7 ist eine Primzahl	wahre Aussage
\(3 > 5\)	falsche Aussage
Schliess das Fenster!	keine Aussage
\(x\) ist durch 4 teilbar	Aussageform

Gleichungen

Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, die durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind.

• Grundmenge \(\mathbb{G}\): Zahlen, die grundsätzlich als Lösung in Frage kommen. Ist nichts angegeben, gilt \(\mathbb{G} = \mathbb{R}\)
• Definitionsmenge \(\mathbb{D} \subset \mathbb{G}\): Grundmenge ohne Werte, die zu nicht definierten Ausdrücken führen (z.B. Division durch null)
• Lösungsmenge \(\mathbb{L}\): Elemente aus \(\mathbb{D}\), welche die Gleichung zu einer wahren Aussage machen

\[ \frac{1}{x + 3} = 2 \qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-3\} \qquad 1 = 2x + 6 \quad \Rightarrow \quad \mathbb{L} = \{-2.5\} \]

Äquivalenzumformungen
Umformungen, welche die Lösungsmenge nicht verändern:

1. Termumformungen
2. Beidseitige Addition bzw. Subtraktion der gleichen Zahl
3. Beidseitige Multiplikation bzw. Division mit der gleichen Zahl ungleich null
4. Beidseitige Addition bzw. Subtraktion des gleichen Terms
5. Beidseitige Multiplikation bzw. Division mit dem gleichen Term ungleich null

Bei anderen Umformungen (z.B. Quadrieren) können Lösungen dazukommen oder verloren gehen.

\[ \begin{aligned} 4x + 7 &= x - 5 && \vert -x \\ 3x + 7 &= -5 && \vert -7 \\ 3x &= -12 && \vert :3 \\ x &= -4 \end{aligned} \]

Lineare Gleichungen

Eine lineare Gleichung lässt sich in die Grundform \(ax + b = 0\) bringen. Die Lösungsvariable kommt nur in der ersten Potenz vor, also nicht unter einer Wurzel, in Betragsstrichen oder im Nenner. Für \(a \neq 0\) gibt es genau eine Lösung \(x = -\frac{b}{a}\).

Temporär können quadratische Glieder auftreten, die beim Umformen wegfallen: $$ (x + 2)(x - 3) = x(x + 1) \quad \Rightarrow \quad x^2 - x - 6 = x^2 + x \quad \Rightarrow \quad -2x = 6 \quad \Rightarrow \quad x = -3 $$

Fallen beim Umformen alle \(x\) weg, gibt es zwei Spezialfälle:

Endform	Lösungsmenge
\(0 \cdot x = 5\)	\(\mathbb{L} = \{\,\}\), keine Lösung
\(0 \cdot x = 0\)	\(\mathbb{L} = \mathbb{G}\), unendlich viele Lösungen

Gleichungen mit Parametern
In Physik und Technik werden Gleichungen oft allgemein nach einer Grösse aufgelöst, das Resultat ist eine Formel. Aus \(s = s_0 + v \cdot t\) folgt z.B. \(t = \frac{s - s_0}{v}\). $$ ax - b = bx + a \quad \Rightarrow \quad ax - bx = a + b \quad \Rightarrow \quad x(a - b) = a + b \quad \Rightarrow \quad x = \frac{a + b}{a - b} $$

Bruchgleichungen

Bei einer Bruchgleichung steht die Lösungsvariable im Nenner. Da beim Multiplizieren mit dem Hauptnenner Scheinlösungen entstehen können, ist die Definitionsmenge wichtig.

1. Nenner faktorisieren
2. Definitionsmenge festlegen (Nenner \(\neq 0\))
3. Mit dem Hauptnenner multiplizieren
4. Lösungsmenge angeben und Scheinlösungen ausschliessen

\[ \frac{3}{x - 1} = \frac{2}{x} \qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{0; 1\} \qquad \vert \cdot x(x - 1) $$ $$ 3x = 2(x - 1) \quad \Rightarrow \quad x = -2 \in \mathbb{D} \quad \Rightarrow \quad \mathbb{L} = \{-2\} \]

Beispiel mit Scheinlösung: $$ \frac{x}{x - 2} = \frac{2}{x - 2} \qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus {2} \qquad x = 2 \notin \mathbb{D} \quad \Rightarrow \quad \mathbb{L} = {\,} $$

Textaufgaben

1. Ansatz: Was ist gegeben, was gesucht? Tabelle oder Skizze erstellen, Lösungsvariable festlegen
2. Gleichung aufstellen: Grundzusammenhang erkennen
3. Gleichung auflösen
4. Antwort: Grundmenge beachten und Lösung kontrollieren

Einheiten müssen zusammenpassen und Prozente werden als Dezimalbruch \(\frac{p}{100}\) geschrieben. Viele Zusammenhänge haben die Form Spalte 1 · Spalte 2 = Spalte 3, z.B. Kapital · Zinssatz = Jahreszins, Zeit · Geschwindigkeit = Strecke oder Volumen · Dichte = Masse.

Beispiel Mischung: Wie viel Wasser muss zu 5 L 60%igem Alkohol, damit 40%iger Alkohol entsteht?

	Menge in L	Anteil	reiner Alkohol in L
60%ig	5	0.6	3
Wasser	\(x\)	0	0
40%ig	\(5 + x\)	0.4	\(0.4(5 + x)\)

Die Menge reiner Alkohol bleibt gleich: $$ 3 = 0.4(5 + x) \quad \Rightarrow \quad 3 = 2 + 0.4x \quad \Rightarrow \quad x = 2.5 \text{ L} $$

Summe der ersten n natürlichen Zahlen
Das erste und letzte Glied ergeben zusammen \(n + 1\), ebenso das zweite und zweitletzte usw. Es gibt \(\frac{n}{2}\) solche Paare: $$ \sum_{k=1}^{n} k = 1 + 2 + \ldots + n = \frac{n}{2}(n + 1) \qquad \sum_{k=1}^{100} k = 50 \cdot 101 = 5050 $$

Gleichungssysteme

Ein Gleichungssystem besteht aus mindestens zwei Gleichungen, die mit \(\land\) verknüpft sind. Die Lösung ist ein Zahlenpaar, -tripel oder allgemein ein n-Tupel, das alle Gleichungen gleichzeitig erfüllt. Die «und»-Verknüpfung wird mit senkrechten Strichen links und rechts dargestellt. Bestehen alle Gleichungen aus linearen Gleichungen, spricht man von einem linearen Gleichungssystem.

Grundform

\[ \left\vert \begin{array}{rcrcl} a_1x & + & b_1y & = & c_1 \\ a_2x & + & b_2y & = & c_2 \end{array} \right\vert \]

\(a_k\) und \(b_k\) heissen Koeffizienten, \(c_k\) Konstanten. Kommen Terme wie \(x^2\), \(xy\) oder \(\sqrt{y}\) vor, ist das System nicht linear.

Lösungsverfahren

Alle Verfahren versuchen, eine Unbekannte zu eliminieren, um aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten eine Gleichung mit einer Unbekannten zu machen.

Additionsmethode
Gleichungen so multiplizieren, dass beim Addieren eine Variable wegfällt: $$ \begin{array}{rrcrcr} \text{(I)} & 3x & + & 2y & = & 16 \ \text{(II)} & x & - & 2y & = & 0 \ \text{(I)} + \text{(II)} & 4x & & & = & 16 \end{array} $$

\(x = 4\) in (II) einsetzen ergibt \(y = 2\), also \(\mathbb{L} = \{(4; 2)\}\)

Einsetzmethode
Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen und in die andere einsetzen: $$ \left\vert \begin{array}{rcl} y & = & 2x - 1 \ 3x + 2y & = & 12 \end{array} \right\vert \quad \Rightarrow \quad 3x + 2(2x - 1) = 12 \quad \Rightarrow \quad 7x = 14 \quad \Rightarrow \quad x = 2, \ y = 3 $$

Werden beide Gleichungen nach derselben Variablen aufgelöst und gleichgesetzt, spricht man von der Gleichsetzmethode. Häufig wird eine Mischform verwendet, in der Praxis immer die Methode mit dem kleinsten Aufwand.

Cramersche Regel

Die vier Koeffizienten bilden eine \(2 \times 2\)-Koeffizientenmatrix. Ihre Determinante ist Hauptdiagonale minus Nebendiagonale: $$ \det\begin{pmatrix} a_1 & b_1 \ a_2 & b_2 \end{pmatrix} = a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1 $$

Für die Hauptdeterminante \(D\) werden die Koeffizienten verwendet, für die Nebendeterminanten \(D_x\) und \(D_y\) wird die jeweilige Spalte durch die Konstanten ersetzt: $$ D = \det\begin{pmatrix} a_1 & b_1 \ a_2 & b_2 \end{pmatrix} \qquad D_x = \det\begin{pmatrix} c_1 & b_1 \ c_2 & b_2 \end{pmatrix} \qquad D_y = \det\begin{pmatrix} a_1 & c_1 \ a_2 & c_2 \end{pmatrix} $$ $$ x = \frac{D_x}{D} \qquad y = \frac{D_y}{D} \qquad (D \neq 0) $$

Beispiel: $$ \left\vert \begin{array}{rcrcr} 2x & + & 3y & = & 8 \ 4x & - & y & = & 2 \end{array} \right\vert $$ $$ D = 2 \cdot (-1) - 4 \cdot 3 = -14 \qquad D_x = 8 \cdot (-1) - 2 \cdot 3 = -14 \qquad D_y = 2 \cdot 2 - 4 \cdot 8 = -28 $$ $$ x = \frac{-14}{-14} = 1 \qquad y = \frac{-28}{-14} = 2 \qquad \mathbb{L} = {(1; 2)} $$

Mehr als zwei Unbekannte

Einsetz- und Additionsmethode funktionieren ohne Einschränkung. Das System wird schrittweise um je eine Gleichung und eine Unbekannte reduziert. $$ \left\vert \begin{array}{lrcrcrcr} \text{(I)} & x & + & y & + & z & = & 6 \ \text{(II)} & x & - & y & + & z & = & 2 \ \text{(III)} & 2x & + & y & - & z & = & 1 \end{array} \right\vert $$

(I) \(-\) (II) ergibt \(2y = 4\), also \(y = 2\). Eingesetzt in (I) und (III) bleibt \(x + z = 4\) und \(2x - z = -1\). Addiert ergibt das \(3x = 3\), also \(x = 1\) und \(z = 3\). $$ \mathbb{L} = {(1; 2; 3)} $$

Quadratische Gleichungen

Eine quadratische Gleichung lässt sich in die Grundform \(ax^2 + bx + c = 0\) mit \(a \neq 0\) bringen. Wird durch \(a\) dividiert, entsteht die Normalform \(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\). Ist \(a = 0\), handelt es sich um eine lineare Gleichung.

Reinquadratische Gleichungen

Ist \(b = 0\), fällt der lineare Term weg und die Gleichung lässt sich als \(x^2 = -\frac{c}{a} = u\) schreiben:

\(u\)	Lösungsmenge
\(u > 0\)	\(\mathbb{L} = \{-\sqrt{u}; +\sqrt{u}\}\)
\(u = 0\)	\(\mathbb{L} = \{0\}\)
\(u < 0\)	\(\mathbb{L} = \{\,\}\)

\[ 3x^2 - 75 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 25 \quad \Rightarrow \quad \mathbb{L} = \{-5; 5\} \]

Quadratische Ergänzung

Mit der quadratischen Ergänzung lassen sich alle quadratischen Gleichungen lösen. Die Idee ist, die Gleichung mithilfe der binomischen Formeln in die Form \((x + \ldots)^2 = \text{Zahl}\) zu bringen. In der Normalform wird dafür mit \(\left(\frac{b}{2}\right)^2\) ergänzt.

\[ \begin{aligned} x^2 - 6x + 5 &= 0 && \vert -5 \\ x^2 - 6x &= -5 && \vert +9 \\ x^2 - 6x + 9 &= 4 \\ (x - 3)^2 &= 4 \\ x - 3 &= \pm 2 \\ x &= 3 \pm 2 \quad \Rightarrow \quad \mathbb{L} = \{1; 5\} \end{aligned} \]

Lösungsformel

Wird die quadratische Ergänzung allgemein durchgeführt, erhält man die Lösungsformel: $$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$

Der Ausdruck unter der Wurzel heisst Diskriminante \(D = b^2 - 4ac\) und bestimmt die Anzahl Lösungen:

Diskriminante	Anzahl reelle Lösungen
\(D > 0\)	zwei
\(D = 0\)	eine
\(D < 0\)	keine

\[ 2x^2 + 3x - 2 = 0 \qquad x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4} \quad \Rightarrow \quad \mathbb{L} = \{-2; 0.5\} \]

Heisst eine Variable selbst \(a\), \(b\) oder \(c\), schreibt man die Formel zur Unterscheidung mit Grossbuchstaben \(A\), \(B\) und \(C\).

Textaufgaben

Das Vorgehen ist gleich wie bei den linearen Gleichungen. Es müssen aber nur die Lösungen angegeben werden, die im Kontext Sinn ergeben (z.B. keine negativen Längen).

Beispiel: Ein Rechteck hat die Fläche 24 m² und den Umfang 20 m. $$ a \cdot b = 24, \ a + b = 10 \quad \Rightarrow \quad a(10 - a) = 24 \quad \Rightarrow \quad a^2 - 10a + 24 = 0 \quad \Rightarrow \quad (a - 4)(a - 6) = 0 $$

Die Seiten sind also 4 m und 6 m lang.

Wurzelgleichungen

Bei einer Wurzelgleichung steht die Lösungsvariable unter einer Wurzel. Zum Lösen wird die Wurzel isoliert und dann quadriert. Da Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, können Scheinlösungen entstehen. Die Kontrolle durch Einsetzen ist deshalb Pflicht.

\[ \sqrt{x + 3} = x - 3 \quad \vert \ \text{quadrieren} \qquad x + 3 = x^2 - 6x + 9 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 7x + 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 1, \ x_2 = 6 \]

Kontrolle: \(\sqrt{6 + 3} = 3 = 6 - 3 \ \checkmark\) und \(\sqrt{1 + 3} = 2 \neq 1 - 3 = -2\), also ist \(x_1\) eine Scheinlösung und \(\mathbb{L} = \{6\}\).

Funktionen

Kartesisches Koordinatensystem

Das kartesische Produkt zweier Mengen ist die Menge aller geordneten Paare: $$ \mathbb{A} \times \mathbb{B} = {(x; y) \mid x \in \mathbb{A} \land y \in \mathbb{B}} $$ $$ {1; 2} \times {0; 5} = {(1; 0), (1; 5), (2; 0), (2; 5)} $$

\(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\) wird mit \(\mathbb{R}^2\) abgekürzt und lässt sich als Ebene darstellen. Die horizontale Achse heisst x-Achse oder Abszissenachse, die vertikale y-Achse oder Ordinatenachse, der Schnittpunkt Ursprung. Die Achsen teilen die Ebene in vier Quadranten:

Quadrant	I	II	III	IV
x-Koordinate	\(x > 0\)	\(x < 0\)	\(x < 0\)	\(x > 0\)
y-Koordinate	\(y > 0\)	\(y > 0\)	\(y < 0\)	\(y < 0\)

Länge einer Strecke
Mit dem Satz von Pythagoras: $$ d = \overline{P_1P_2} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$ $$ P_1 = (-1; 2), \ P_2 = (2; 6) \quad \Rightarrow \quad d = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 $$

Relationen und ihre Graphen

Die Lösungsmenge einer Gleichung mit \(x\) und \(y\) ist eine Teilmenge von \(\mathbb{R}^2\) und heisst Relation. Ihr Graph \(G_r\) sind alle Punkte, welche die Gleichung erfüllen.

Kreisgleichung
Ein Kreis mit Mittelpunkt \(M = (h; k)\) und Radius \(r\): $$ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 $$

Symmetrien
Liegt ein Punkt \(P = (x; y)\) auf dem Graphen, ist dieser symmetrisch...

Symmetrie	wenn auch dieser Punkt auf dem Graphen liegt
zur y-Achse	\(P' = (-x; y)\)
zur x-Achse	\(P' = (x; -y)\)
zum Ursprung	\(P' = (-x; -y)\)

Algebraisch wird \(x\) bzw. \(y\) ersetzt. Bei \(y^2 = x + 4\) ergibt \((-y)^2 = x + 4\) wieder dieselbe Gleichung, der Graph ist also symmetrisch zur x-Achse.

Funktionsbegriff

Eine Funktion ist eine spezielle Relation und besteht aus drei Teilen:

1. Definitionsmenge \(\mathbb{D}\)
2. Bildmenge \(\mathbb{B}\)
3. Zuordnung: Jedes Element aus \(\mathbb{D}\) wird auf genau ein Element aus \(\mathbb{B}\) abgebildet

Die Wertemenge \(\mathbb{W}\) sind die Elemente aus \(\mathbb{B}\), die tatsächlich getroffen werden. Ein Kreis ist keine Funktion, da z.B. \(x = 0\) auf zwei y-Werte abgebildet wird.

Schreibweise	Bedeutung
\(f: \mathbb{D} \to \mathbb{B}\)	Funktion von \(\mathbb{D}\) nach \(\mathbb{B}\)
\(x \mapsto f(x)\)	\(x\) wird auf \(f(x)\) abgebildet
\(y = f(x)\)	Funktionsgleichung

\(x\) heisst Argument, \(f(x)\) Funktionswert. \(f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}; \ x \mapsto x^2\) ist vergleichbar mit einer typisierten Funktionssignatur beim Programmieren wie int f(int x).

Darstellungsarten

Eine Funktion kann als Wertetabelle, Pfeildiagramm, Funktionsgleichung (analytische Darstellung) oder als Graph dargestellt werden. Der Graph ist die Menge \(G_f = \{(x; f(x)) \mid x \in \mathbb{D}_f\}\) im Koordinatensystem.

Wertetabelle für \(f(x) = 3x - 1\):

\(x\)	-1	0	1	2
\(f(x)\)	-4	-1	2	5

Eigenschaften von Funktionen

Punkt auf dem Graphen
\(P_0 = (x_0; y_0)\) liegt auf dem Graphen, wenn \(y_0 = f(x_0)\) gilt.

Nullstelle und Ordinatenabschnitt
Eine Nullstelle \(x_0\) erfüllt \(f(x_0) = 0\) (Schnittpunkt mit der x-Achse). Der Ordinatenabschnitt ist \(f(0)\) (Schnittpunkt mit der y-Achse).

Schnittpunkte zweier Graphen
Funktionsterme gleichsetzen \(f(x) = g(x)\) und nach \(x\) auflösen, danach \(x\) in eine der Gleichungen einsetzen.

Gerade und ungerade Funktionen

Funktion	Bedingung	Symmetrie
gerade	\(f(-x) = f(x)\)	zur y-Achse
ungerade	\(f(-x) = -f(x)\)	zum Ursprung

\(f(x) = x^3 - 4x\) ist ungerade, da \(f(-x) = -x^3 + 4x = -f(x)\)

Abbildungen von Graphen

Abbildung	In der Gleichung ersetzen	Wirkung
Verschiebung in x-Richtung	\(x\) durch \(x - d\)	um \(d\) nach rechts (\(d < 0\): links)
Verschiebung in y-Richtung	\(y\) durch \(y - d\)	um \(d\) nach oben (\(d < 0\): unten)
Spiegelung an der y-Achse	\(x\) durch \(-x\)
Spiegelung an der x-Achse	\(y\) durch \(-y\)
Streckung in x-Richtung	\(x\) durch \(k \cdot x\) (\(k > 0\))	um Faktor \(\frac{1}{k}\) gestreckt
Streckung in y-Richtung	\(y\) durch \(k \cdot y\) (\(k > 0\))	um Faktor \(\frac{1}{k}\) gestreckt

\(y = x^2\) um 2 nach rechts und 1 nach unten verschoben ergibt \(y = (x - 2)^2 - 1\)

Lineare Funktionen

Eine lineare Funktion hat die Gleichung \(y = f(x) = mx + q\), ihr Graph ist eine Gerade. Beispiel: Ein Taxi kostet 6 Fr. Grundtaxe und 3 Fr. pro km, also \(p(s) = 3s + 6\).

Steigung und Ordinatenabschnitt

\[ m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

\(m\) ist die Steigung, \(q\) der Ordinatenabschnitt, die Gerade schneidet die y-Achse also bei \((0; q)\). Das Dreieck aus \(\Delta x\) und \(\Delta y\) heisst Steigungsdreieck.

Steigung	Verlauf
\(m > 0\)	steigt von links nach rechts
\(m < 0\)	fällt von links nach rechts
\(m = 1\)	steigt mit 45°
\(m = 0\)	horizontal, konstante Funktion \(y = q\)

Ist \(q = 0\), geht die Gerade durch den Ursprung (Ursprungsgerade). Eine senkrechte Gerade \(x = c\) ist keine Funktion.

Gerade durch zwei Punkte
\(P_1 = (1; -1)\) und \(P_2 = (3; 5)\): $$ m = \frac{5 - (-1)}{3 - 1} = 3 \qquad -1 = 3 \cdot 1 + q \quad \Rightarrow \quad q = -4 \qquad y = 3x - 4 $$

Schnittpunkte

Mit den Koordinatenachsen
Nullstelle mit \(y = 0\): \(x_0 = -\frac{q}{m}\). Ordinatenabschnitt mit \(x = 0\): \((0; q)\).
Für \(y = 2x - 6\) ergibt das die Schnittpunkte \((3; 0)\) und \((0; -6)\).

Zweier Geraden
Funktionsterme gleichsetzen: $$ 2x - 1 = -x + 5 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \quad \Rightarrow \quad y = 3 \quad \Rightarrow \quad S = (2; 3) $$

Haben beide Geraden die gleiche Steigung, sind sie bei gleichem \(q\) identisch (unendlich viele gemeinsame Punkte), sonst parallel (kein Schnittpunkt). Das ist grafisch genau der Fall \(D = 0\) bei der Cramerschen Regel.

Spezielle Lagen zweier Geraden

Lage	Bedingung
parallel \(g_1 \parallel g_2\)	\(m_1 = m_2\)
senkrecht \(g_1 \perp g_2\)	\(m_1 \cdot m_2 = -1\) bzw. \(m_2 = -\frac{1}{m_1}\)

Senkrecht wird auch rechtwinklig, orthogonal oder normal genannt.

Gerade senkrecht zu \(y = 2x + 1\) durch \(P = (4; 1)\): $$ m = -\frac{1}{2} \qquad 1 = -\frac{1}{2} \cdot 4 + q \quad \Rightarrow \quad q = 3 \qquad y = -\frac{1}{2}x + 3 $$

Verzweigte Funktionsvorschriften

Braucht es für verschiedene Bereiche verschiedene Funktionsterme, spricht man von einer verzweigten Funktionsvorschrift, vergleichbar mit einer if/else-Kette. Beispiel Parkhaus: erste Stunde gratis, danach 2 Fr. pro Stunde: $$ f(x) = \begin{cases} 0 & x \in [0; 1] \ 2x - 2 & x \in \ ]1; 10] \end{cases} $$

Betragsfunktion $$ y = \lvert x \rvert = \begin{cases} x & \text{falls } x \geq 0 \ -x & \text{falls } x < 0 \end{cases} $$

Nullstellen von \(y = \lvert x - 1 \rvert - 3\) mit Fallunterscheidung: $$ \lvert x - 1 \rvert = 3 \qquad x - 1 \geq 0: \ x - 1 = 3 \Rightarrow x_1 = 4 \qquad x - 1 < 0: \ -(x - 1) = 3 \Rightarrow x_2 = -2 $$

Quadratische Funktionen

Eine quadratische Funktion hat die Grundform \(y = f(x) = ax^2 + bx + c\) mit \(a \neq 0\). Ihr Graph heisst Parabel. Beispiel: Ein Ball wird aus 2 m Höhe nach oben geworfen, seine Höhe nach \(t\) Sekunden ist \(h(t) = -5t^2 + 10t + 2\).

Aus drei Punkten lässt sich die Gleichung bestimmen, indem man sie in \(y = ax^2 + bx + c\) einsetzt und das entstehende Gleichungssystem nach \(a\), \(b\) und \(c\) löst.

Normalparabel

Mit \(a = 1\) und \(b = c = 0\) entsteht die einfachste Parabel \(y = x^2\), die Normalparabel.

Eigenschaft	\(y = x^2\)
Definitionsmenge	\(\mathbb{R}\)
Wertemenge	\(\mathbb{R}_0^+\)
Scheitelpunkt	\(S = (0; 0)\)
Nullstelle	\(x_0 = 0\)
Symmetrie	gerade Funktion, symmetrisch zur y-Achse
Verlauf	fällt für \(x < 0\), steigt für \(x > 0\)

Scheitelform

\[ y = a(x - u)^2 + v \qquad S = (u; v) \]

Die Scheitelform entsteht durch Abbilden der Normalparabel: Streckung mit \(a\), Verschiebung um \(u\) in x- und um \(v\) in y-Richtung. Für \(a > 0\) ist die Parabel nach oben geöffnet und \(S\) ein Tiefpunkt, für \(a < 0\) nach unten geöffnet und \(S\) ein Hochpunkt.

Umrechnung
Scheitelform ausmultiplizieren ergibt \(b = -2au\) und \(c = au^2 + v\). Umgekehrt gilt: $$ S = (u; v) = \left(-\frac{b}{2a}; \ c - \frac{b^2}{4a}\right) $$

\[ y = 2x^2 - 8x + 3 \qquad u = -\frac{-8}{4} = 2 \qquad v = 3 - \frac{64}{8} = -5 \qquad y = 2(x - 2)^2 - 5 \]

Parabel mit Scheitel \(S = (1; 4)\) durch \(P = (3; 0)\): $$ 0 = a(3 - 1)^2 + 4 \quad \Rightarrow \quad a = -1 \qquad y = -(x - 1)^2 + 4 = -x^2 + 2x + 3 $$

Schnittpunkte

Mit den Koordinatenachsen
Die Parabel schneidet die y-Achse bei \((0; c)\). Die Nullstellen werden mit der Lösungsformel bestimmt, die Diskriminante bestimmt ihre Anzahl. Sind die Nullstellen bekannt, gilt die Nullstellenform: $$ y = a(x - x_1)(x - x_2) \qquad u = \frac{x_1 + x_2}{2} $$

\(y = -x^2 + 2x + 3 = -(x - 3)(x + 1)\) hat die Nullstellen \(-1\) und \(3\), der Scheitel liegt also bei \(u = 1\).

Zweier Graphen
Funktionsterme gleichsetzen ergibt eine quadratische Gleichung, die Diskriminante entscheidet:

Diskriminante	Schnittpunkte	Gerade ist...
\(D > 0\)	zwei	Sekante
\(D = 0\)	einer	Tangente
\(D < 0\)	keiner	Passante

\[ x^2 = 2x - 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 2x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad D = 0 \quad \Rightarrow \quad \text{Tangente in } (1; 1) \]

Extremalaufgaben

Der Scheitelpunkt ist die Extremalstelle der quadratischen Funktion: für \(a > 0\) das Minimum, für \(a < 0\) das Maximum.

Beispiel: Mit 40 m Zaun soll ein Rechteck mit maximaler Fläche eingezäunt werden. $$ A(x) = x(20 - x) = -x^2 + 20x \qquad u = -\frac{20}{2 \cdot (-1)} = 10 $$

Die maximale Fläche ist ein Quadrat mit 10 m Seitenlänge und 100 m².

Der Ball von oben erreicht seine maximale Höhe bei \(u = -\frac{10}{-10} = 1\) s mit \(v = h(1) = 7\) m.

Potenz- und Wurzelfunktionen

Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten

Eine Potenzfunktion hat die Form \(y = ax^n\) mit \(n \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}\). Bei natürlichen Exponenten ist der Graph eine Parabel n-ter Ordnung.

Eigenschaft	ungerader Exponent \(y = x^{2n-1}\)	gerader Exponent \(y = x^{2n}\)
Definitionsmenge	\(\mathbb{R}\)	\(\mathbb{R}\)
Wertemenge	\(\mathbb{R}\)	\(\mathbb{R}_0^+\)
Gemeinsame Punkte	\((-1; -1)\), \((0; 0)\), \((1; 1)\)	\((-1; 1)\), \((0; 0)\), \((1; 1)\)
Symmetrie	ungerade, zum Ursprung	gerade, zur y-Achse
Punkt \((0; 0)\)	Terrassenpunkt	Flachpunkt

\[ y = (x + 1)^4 - 81 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x + 1)^4 = 81 \quad \Rightarrow \quad x + 1 = \pm 3 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 2, \ x_2 = -4 \]

Grafisch lösen
Gleichungen wie \(x^3 = 2 - x\) lassen sich lösen, indem beide Seiten als Funktionen gezeichnet werden. Der x-Wert des Schnittpunkts ist die Lösung, hier \(x = 1\).

Potenzfunktionen mit negativen Exponenten

Bei negativen Exponenten \(y = x^{-n} = \frac{1}{x^n}\) ist der Graph eine Hyperbel aus zwei nicht verbundenen Ästen.

Eigenschaft	ungerader Exponent	gerader Exponent
Definitionsmenge	\(\mathbb{R} \setminus \{0\}\)	\(\mathbb{R} \setminus \{0\}\)
Wertemenge	\(\mathbb{R} \setminus \{0\}\)	\(\mathbb{R}^+\)
Gemeinsame Punkte	\((1; 1)\), \((-1; -1)\)	\((1; 1)\), \((-1; 1)\)
Nullstellen	keine	keine
Symmetrie	ungerade, zum Ursprung	gerade, zur y-Achse
Asymptoten	\(x = 0\) und \(y = 0\)	\(x = 0\) und \(y = 0\)

Eine Asymptote ist eine Gerade, der sich der Graph mit zunehmender Entfernung vom Ursprung immer mehr annähert, ohne sie zu schneiden. Bei \(x = 0\) hat die Hyperbel eine Definitionslücke bzw. Polstelle, die senkrechte Asymptote heisst Polgerade.

\[ y = \frac{1}{x - 3} + 2 \qquad \text{vertikale Asymptote } x = 3 \qquad \text{horizontale Asymptote } y = 2 \]

Ist das Produkt zweier Grössen konstant, ist ihr Zusammenhang eine Hyperbel, z.B. beim Ohmschen Gesetz \(I = \frac{U}{R}\) bei konstanter Spannung.

Wurzelfunktionen

Eine Wurzelfunktion \(y = \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}\) ist die Umkehrfunktion \(f^{-1}\) der Potenzfunktion. Man erhält sie, indem man \(y = x^n\) nach \(x\) auflöst und \(x\) und \(y\) vertauscht. Grafisch entspricht das einer Spiegelung an der Geraden \(y = x\).

Potenzfunktionen mit geradem Exponenten sind nur für \(\mathbb{D} = \mathbb{R}_0^+\) umkehrbar, weil sonst zwei x-Werte denselben y-Wert haben. Deshalb beschränkt man sich einheitlich auf \(\mathbb{R}_0^+\).

Eigenschaft	\(y = \sqrt[n]{x}\)
Definitionsmenge	\(\mathbb{R}_0^+\)
Wertemenge	\(\mathbb{R}_0^+\)
Gemeinsame Punkte	\((0; 0)\), \((1; 1)\)
Nullstelle	\(x_0 = 0\)
Symmetrie	keine

\(y = 2\sqrt{x + 1} - 4\) hat \(\mathbb{D} = [-1; \infty[\), den Ordinatenabschnitt \(2 \cdot 1 - 4 = -2\) und die Nullstelle \(\sqrt{x + 1} = 2 \Rightarrow x_0 = 3\).

Exponentialfunktionen

Bei einer Exponentialfunktion \(y = a^x\) mit \(a > 0\) und \(a \neq 1\) steht die Variable im Exponenten, anders als bei der Potenzfunktion \(x^n\). Exponentialfunktionen beschreiben Wachstums- und Zerfallsprozesse.

Beispiel: 500 Bakterien verdoppeln sich jede Stunde, also \(N(t) = 500 \cdot 2^t\). Nach 5 Stunden sind es \(500 \cdot 32 = 16\,000\).

Eigenschaften

Spiegeln an der y-Achse ergibt \(a^{-x} = \left(\frac{1}{a}\right)^x\), aus einer steigenden wird also eine fallende Kurve.

Eigenschaft	\(y = a^x\)
Definitionsmenge	\(\mathbb{R}\)
Wertemenge	\(\mathbb{R}^+\)
Gemeinsamer Punkt	\((0; 1)\)
Nullstellen	keine
Symmetrie	keine
Verlauf	\(a > 1\): steigend, \(0 < a < 1\): fallend
Asymptote	x-Achse

Basis bestimmen, wenn der Graph durch \(P = (3; 64)\) geht: \(a^3 = 64 \Rightarrow a = \sqrt[3]{64} = 4\)

Natürliche Exponentialfunktion

Mit der Eulerschen Zahl \(\mathrm{e} \approx 2.71828\) lässt sich jede Exponentialfunktion als \(a^x = \mathrm{e}^{b \cdot x}\) schreiben, mit \(b = \ln a\). Deshalb beschränkt man sich in Anwendungen oft auf die e-Funktion \(y = \mathrm{e}^x\). $$ 3^x = \mathrm{e}^{\ln(3) \cdot x} $$

Datenanalyse

Datengewinnung

Bei einer Erhebung werden vorhandene Daten erfasst, in einem Experiment werden Daten erzeugt.

Methode	Beschreibung	Beispiel
Experiment	Daten nach einer Versuchsanordnung bzw. einem Forschungsdesign erzeugen, kausale Zusammenhänge beweisbar	Wirksamkeit eines Medikaments
Befragung	Interviews oder standardisierte Fragebogen	Kundenzufriedenheit
Beobachtungsstudie	vorhandene Daten beobachten oder messen	Verkehrszählung
Sekundärstatistische Erhebung	Daten aus bestehender Datensammlung filtern	Daten des Bundesamts für Statistik

Fehlertypen

Fehler	Beschreibung
zufällig	nicht zu verhindern, z.B. leicht unterschiedliche Messungen derselben Grösse
systematisch	Ursache im Messsystem, Werte immer zu gross oder zu klein
Übertragung	beim Ab- oder Übertragen, z.B. Zahlendreher
mutwillig	absichtlich gefälschte oder gelöschte Daten

Grundgesamtheit und Stichprobe

Die Grundgesamtheit ist die Menge aller für eine Untersuchung relevanten Personen oder Objekte, die Stichprobe eine Teilmenge davon. Die Anzahl untersuchter Objekte ist der Stichprobenumfang. Wird die ganze Grundgesamtheit untersucht, spricht man von einer Vollerhebung.

Werden die Objekte zufällig ausgewählt, ist es eine Zufallsstichprobe. Ist die Auswahl nicht zufällig, können systematische Abweichungen entstehen, der sogenannte Bias (wie bei einseitigen Trainingsdaten beim maschinellen Lernen). Eine Stichprobe, die ein unverzerrtes Abbild der Grundgesamtheit ist, heisst repräsentativ. Da die Grundgesamtheit meist unbekannt ist, lässt sich das aber nicht messen, weshalb der Begriff kein Fachbegriff der Statistik ist.

Datensatz

Die ursprünglich erhobenen Werte bilden die Urliste, die (auch neu geordneten) Daten einer Studie den Datensatz. Der Vergleich mit einer Datenbanktabelle hilft:

Statistik	Datenbank
Datensatz	ganze Tabelle
Untersuchungseinheit	Primärschlüssel bzw. ID
Merkmal bzw. Variable	Spalte
Beobachtung	Zeile
Wert bzw. Ausprägung	Zellwert

Wird pro Untersuchungseinheit ein Merkmal erhoben, sind die Daten univariat, bei zwei bivariat, bei mehr multivariat.

Variablentypen

Typ	Unterart	Beschreibung	Beispiel	Vergleich Datentyp
qualitativ / kategoriell	nominal	nicht sinnvoll ordenbar	Augenfarbe	enum
qualitativ / kategoriell	ordinal	ordenbar, aber nicht rechenbar	Kleidergrösse S, M, L	geordnetes enum
quantitativ / metrisch	diskret	nur bestimmte Werte, abzählbar	Anzahl Geschwister	int
quantitativ / metrisch	stetig / kontinuierlich	jeder Wert in einem Intervall möglich	Körpergrösse	float

Geordnete Stichprobe und Rang

Werden die Beobachtungen nach einem Merkmal sortiert (wie ORDER BY), entsteht eine geordnete Stichprobe \(x_{[1]} \leq x_{[2]} \leq \ldots \leq x_{[n]}\). Der Rang gibt den Platz einer Beobachtung darin an. Bei gleichen Ausprägungen werden die Plätze gemittelt:

Wert	3	3	5	7	9
Rang	1.5	1.5	3	4	5

Häufigkeiten

Die absolute Häufigkeit \(h_i\) ist die Anzahl Beobachtungen mit der Ausprägung \(i\), die relative Häufigkeit ihr Anteil am Stichprobenumfang: $$ f_i = \frac{h_i}{n} $$

Haben 8 von 20 Personen blaue Augen, ist \(h = 8\) und \(f = \frac{8}{20} = 0.4\).

Kennzahlen

Kennzahlen fassen eine Eigenschaft eines Datensatzes in einer Zahl zusammen, vor allem die Lage und die Streuung. Eine Kennzahl ist robust, wenn eine einzelne extreme Beobachtung ihren Wert kaum verändert.

Für die folgenden Beispiele wird diese geordnete Stichprobe mit \(n = 8\) verwendet:

\(x_{[1]}\)	\(x_{[2]}\)	\(x_{[3]}\)	\(x_{[4]}\)	\(x_{[5]}\)	\(x_{[6]}\)	\(x_{[7]}\)	\(x_{[8]}\)
2	4	4	5	7	8	9	31

Mittelwert
Der Durchschnitt aller Werte, nicht robust: $$ \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{70}{8} = 8.75 $$

Median
Der Median ist robust: 50 % der Werte sind kleiner oder gleich, 50 % grösser oder gleich \(\tilde{x}\). Bei geradem \(n\) wird der Mittelwert der beiden mittleren Werte genommen: $$ \tilde{x} = \begin{cases} \frac{1}{2}\left(x_{[0.5n]} + x_{[0.5n+1]}\right) & \text{falls } 0.5n \text{ ganzzahlig} \ x_{[\lceil 0.5n \rceil]} & \text{falls } 0.5n \text{ nicht ganzzahlig} \end{cases} $$ $$ \tilde{x} = \frac{1}{2}(x_{[4]} + x_{[5]}) = \frac{5 + 7}{2} = 6 $$

Der Ausreisser 31 zieht den Mittelwert deutlich nach oben, den Median aber nicht.

Extremwerte und Quartile
Minimum \(x_{\min}\) und Maximum \(x_{\max}\) sind der kleinste und grösste Wert, also gar nicht robust. Die Quartile werden gleich wie der Median bestimmt, nur mit \(0.25n\) bzw. \(0.75n\):

Quartil	Synonyme	Eigenschaft	Beispiel
\(Q_1\)	unteres Quartil, 25%-Quantil, \(x_{0.25}\)	25 % der Werte sind kleiner oder gleich	\(\frac{4 + 4}{2} = 4\)
\(Q_2\)	Median, 50%-Quantil, \(\tilde{x}\)	50 % der Werte sind kleiner oder gleich	\(6\)
\(Q_3\)	oberes Quartil, 75%-Quantil, \(x_{0.75}\)	75 % der Werte sind kleiner oder gleich	\(\frac{8 + 9}{2} = 8.5\)

Statistikprogramme interpolieren teilweise anders, daher können die Werte leicht abweichen.

Streuungskennzahlen

Kennzahl	Formel	Robustheit	Beispiel
Standardabweichung	\(SD = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}\)	wenig robust	\(\sqrt{\frac{603.5}{7}} \approx 9.29\)
Interquartilsabstand	\(IQR = Q_3 - Q_1\)	robust	\(8.5 - 4 = 4.5\)
Spannweite	\(SW = x_{\max} - x_{\min}\)	gar nicht robust	\(31 - 2 = 29\)

Das Quadrat der Standardabweichung heisst Varianz. Die Spannweite wächst ausserdem normalerweise mit dem Stichprobenumfang.